Komplizierte mathematische Formel auf einer alten Schultafel. Foto: Unsplash/Roman Mager.

Problèmes du millénaire : et ils ne furent plus que six

Traduction de Mathéo Patte, étudiant en licence LEA Anglais-Allemand à l’Université de Picardie Jules Verne (2024)

Un million de dollars pour résoudre un problème de mathématiques ? Cela devrait être une motivation suffisante pour résoudre les sept problèmes du prix du millénaire. Pourtant, jusqu’à présent seule l’une de ces énigmes a été résolue, et ce par un mathématicien qui ne désirait ni l’argent  ni la gloire.

Photo : Un casse-tête pour les plus grands mathématiciens du monde : les problèmes du prix du millénaire. Crédits : Unsplash/Roman Mager.

Les mathématiques regorgent d’énigmes non résolues. Pour les résoudre, seuls les moyens qui sont eux-mêmes prouvés sont autorisés, car comme toute science, les mathématiques sont toujours à la recherche de la certitude ultime. Mais dans aucune autre discipline de telles avancées sont aussi ambitieuses que dans le monde fantastique des nombres.

Chasse aux plus grands problèmes mathématiques

Pour faire connaître au grand public les réalisations des plus grands mathématiciens et mathématiciennes, ces derniers ont lancé leur propre compétition en 2000. Au centre se trouvent ce qu’on appelle les « Problèmes du prix du millénaire », les plus importants problèmes mathématiques non résolus, sur lesquels même les plus grands esprits du domaine ont achoppé.

Celui qui parvient à résoudre l’un de ces casse-têtes mathématiques se voit non seulement offrir la gloire et l’honneur, mais également une récompense d’un million de dollars. Un premier héros a déjà été couronné par cette compétition, même si son comportement défie les attentes de beaucoup. Et une deuxième personne travaille encore à devenir un tel héros. L’outil à sa disposition : la preuve mathématique.

L’objectif : susciter l’enthousiasme pour la beauté des nombres

L’idée de mettre à prix les plus grandes énigmes mathématiques non résolues vient du fondateur du « Clay Mathematics Institute » (CMI), Landon Clay. C’est aussi lui qui fournit les fonds pour cette chasse pouvant coûter jusqu’à sept millions de dollars américains.

Ses objectifs : attirer davantage l’attention du public sur les mathématiques et susciter l’enthousiasme des jeunes pour la beauté des nombres, car il n’y a pas de prix Nobel de mathématiques pour apporter la renommée. Et effectivement les réactions à l’idée de Landon Clay étaient très prometteuses. La revue spécialisée Nature a écrit par exemple qu’il s’agissait d’un « excellent moyen pour une fondation privée de faire découvrir la fascination des mathématiques aussi au grand public ».

Le modèle du CMI est David Hilbert, le plus grand mathématicien du début du XXe siècle avec Henri Poincaré. Lors d’un discours décisif au Congrès international des mathématiciens de 1900 à Paris, Hilbert a formulé ce qu’il considérait comme les 23 plus grands problèmes non résolus des mathématiques et a ainsi durablement marqué la recherche dans sa discipline au XXe siècle.

Quatre disciplines et le Saint Graal des mathématiques

Les sept nouveaux « Problèmes du prix du millénaire » proviennent de quatre disciplines des mathématiques : la théorie des nombres, la physique mathématique, l’informatique théorique et la topologie, qui étudie les propriétés des espaces. Tous ces problèmes ont un point commun : ils résistent avec ténacité à toute résolution, parfois depuis des décennies et malgré tous les efforts des plus grands mathématiciens.

L’un de ces problèmes, l’hypothèse de Riemann, est désormais même considéré comme le « Saint Graal des mathématiques ». Formulée par le mathématicien allemand Georg Friedrich Bernhard Riemann dès 1859, elle figurait déjà sur la légendaire liste de Hilbert, seul problème parmi les 23 qui soit resté irrésolu jusqu’à aujourd’hui.

Travail acharné dans la solitude

Parmi les sept problèmes du millénaire, seule la conjecture de Poincaré a été démontrée en 2002, par Grigori Iakovlevitch Perelman : un Russe original et retiré du monde, qui est devenu une star des mathématiques du jour au lendemain. Ses résultats ont fait l’effet d’une bombe dans la communauté mathématique, car ce brillant scientifique était déjà presque tombé dans l’oubli. Il avait jadis refusé les offres des plus grands instituts, préférant travailler en solitaire dans son pays d’origine, sans jamais révéler à personne le sujet de ses travaux.

« Grigori Perelman vit très retiré, déclare Carlson. Mais c’est un mathématicien très créatif avec de grandes idées. Sa seule préoccupation, ce sont les mathématiques ». Perelman n’a pas publié sa démonstration de la conjecture de Poincaré dans une revue spécialisée, mais sur Internet, contournant ainsi les règles du CMI. Malgré cela, le CMI a fait examiner la démonstration de Perelman par des mathématiciens réputés. Leur conclusion, au bout de presque deux ans, ne laissait plus aucun doute : le raisonnement de Perelman est correct, il s’agit plus grand succès mathématique depuis la démonstration du dernier théorème de Fermat. La revue spécialisée Science a même désigné la démonstration de Perelman comme la plus grande percée scientifique de 2006.

Renoncement à la récompense et à la médaille Fields

Mais l’argent avait aussi peu d’importance pour Perelman que la gloire et les honneurs : il a refusé la récompense. Il ne voulait pas devenir une icône, rapporte le Süddeutsche Zeitung en citant un mathématicien respecté. C’est pourquoi il a également renoncé à la médaille Fields : il n’a même pas assisté à la remise de la plus grande distinction en mathématiques. Mais c’est précisément ce comportement qui fait de lui un héros malgré lui.

Car Perelman, qui ne se coupe ni les cheveux ni les ongles, incarne finalement presque à la perfection le cliché du mathématicien génial mais excentrique. Depuis sa démonstration, il s’est à nouveau retiré du monde. Peut-être pour résoudre la prochaine énigme du millénaire ?

Cet article a été initialement publié en 2006 dans le cadre de l’Euroscience Open Forum et a été mis à jour en 2021.

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