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02/10/09

Symmetrie | Eine anschauliche Definition

Von Anna Behrend

Symmetrie hat etwas mit Bewegung zu tun. Das können wir uns veranschaulichen, indem wir folgendes Quadrat betrachten:

© science-guide.eu


Stellen wir uns vor, dass wir ein solches Quadrat aus Papier ausschneiden und es auf einen Tisch vor uns legen. Dann heben wir es hoch, drehen es um 90 Grad nach rechts und legen es wieder hin. Jetzt sieht es wieder aus wie vor der Drehung. Das können wir so oft wiederholen, bis wir wieder die Ausgangsposition erreicht haben, in diesem Fall also drei weitere Male. Außerdem könnten wir das Quadrat um seine mittlere oder um eine der diagonalen Achsen drehen – es sähe immer wieder gleich aus, wenn wir es zurück auf den Tisch legen.

Der britische Mathematiker Marcus du Sautoy beschreibt Symmetrie als die Gesamtheit genau dieser Bewegungen, die wir mit dem Quadrat machen können, ohne dass es nach der Drehung anders aussieht. Das geht natürlich nicht nur mit Quadraten, sondern auch mit allen anderen Vielecken und geometrischen Formen. Es hindert uns auch nichts daran, alle beliebigen Objekte um uns herum zu drehen, zu verschieben und zu spiegeln und dann zu schauen, nach welchen dieser Bewegungen sie noch aussehen wie zuvor: Flaschen, Hüte, Töpfe, Schachteln – einfach alles. So erfahren wir etwas über ihre so genannten Symmetrie-Eigenschaften.

Schauen wir uns zum Beispiel diesen Seestern an: Die Zacke oben in der Mitte können wir auf die Position derjenigen rechts daneben drehen. Dann sieht der Seestern wieder aus wie zuvor. Ebenso könnten wir den Seestern auch um zwei, drei, vier oder fünf Zacken nach rechts drehen. Hinterher sieht er immer wieder aus wie am Anfang. Mathematiker würden sagen: Der Seestern hat sechs Symmetrien, da man ihn auf fünf Arten drehen oder ihn einfach in seiner ursprünglichen Position lassen kann, ohne dass sich sein Aussehen nach der Bewegung ändert. Besonders an diesem Seestern ist, dass er keine Spiegelachse hat, da seine Zacken in eine vorgegebene Richtung zeigen.

© science-guide.eu

Mathematikern reicht es jedoch nicht, zwei- oder dreidimensionale Objekte zu untersuchen. Es zieht sie in höhere, abstraktere Dimensionen. Das größte bekannte Objekt dieser Art hat mehr Symmetrien als die Sonne Moleküle hat, also eine unvorstellbar große Zahl. Dabei sind ganz allgemein theoretisch ungefähr 8 * 1053 Symmetrien möglich.

Alhambra-Muster in verschiedenen Symmetrien

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So sieht eines der vielen Ornamente im "Palast der Symmetrie", der maurischen Festung Alhambra, aus. Im Folgenden werden einige Grundoperationen der Symmetrie veranschaulicht.


Horizontale Verschiebung:

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Beide Muster lassen sich um den Gitterabstand G verschieben, so dass danach Punkt A auf der vorherigen Position von Punkt B liegt und das Muster wieder so aussieht wie vor der Bewegung. Lässt eine Bewegung das Aussehen eines Gegenstandes unverändert, so bezeichnen Mathematiker sie als Symmetrietransformation.

Vertikale und diagonale Verschiebung:

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Auch in vertikaler Richtung kann man das Muster um den Gitterabstand G verschieben, ohne das Aussehen zu verändern (linkes Bild). Eine Verschiebung um den Diagonalabstand D zweier Gitterpunkte bewirkt ebenfalls keine Veränderung des Gesamtbilds (rechts).

Spiegelung und Drehung:

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Spiegelt man das Muster um eine der Achsen S1, S2 oder S3, so verändert es sein Aussehen nicht (linkes Bild). Auch nach einer Drehung um 90 oder 180 Grad sieht das Muster wieder aus wie zuvor (rechts).


Dieser Beitrag entstand im Zuge des EuroScience Open Forum (ESOF) 2008.






Natürliche Symmetrie - Symmetrie in der Natur

Viele Künstler und Architekten spielen in ihren Werken mit symmetrischen Eigenschaften. Vorbild könnte in vielen Fällen die Natur gewesen sein, denn in ihr lassen sich viele Formen von Symmetrie entdecken - wie die folgenden Beispiele in dieser Spalte zeigen.


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