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Kopfgeld auf mathematische Probleme: Nur die Vermutung von Poincaré ist bislang bewiesen, sechs weitere Rätsel bleiben offen. Zeichnung: Heike Becker

Die Magie der Zahlen | Geheimnisvoll und unberechenbar

Von Christoph Marty

Die Mathematik ist reich an ungelösten Rätseln. Um sie zu lösen, sind nur solche Mittel erlaubt, die selbst bewiesen sind - denn wie jede Wissenschaft ist auch die Mathematik stets auf der Suche nach der letzten Gewissheit. Doch in keiner anderen Disziplin sind solche Pionierleistungen ambitionierter als in der fantastischen Welt der Zahlen.

Hier treten Forscher an, um die Sprache der Natur zu verstehen - gerüstet allein mit den Gesetzen von Logik und Zahlen. Ihr Werkzeug: der mathematische Beweis. Der ist die Königsdisziplin einer Wissenschaft, die nach Präzision strebt und dabei Schönheit und Eleganz liebt. Für die Forscher ist der Beweis Fluch und Faszination zugleich, denn er prägt ihr Leben: „Als Mathematiker durchlebt man viele Phasen, in denen man frustriert ist. Man entwickelt nicht so viele große Ideen, um komplexe Probleme zu lösen. Diese Zeiten können Monate oder sogar Jahre dauern“, sagt Don Zagier, Direktor am Max-Planck-Institut für Mathematik (MPI) in Bonn. „Auf der anderen Seite hat mir die Mathematik schon wunderbare Momente beschert. Einen Beweis zu vollenden ist etwas ganz Außergewöhnliches. Die Gewissheit, ein großes Problem gelöst und damit begriffen zu haben, was niemals zuvor ein Mensch verstanden hat: Das ist etwas ganz Eigenes. Jeder Beweis ist eine individuelle Kreation.“

Don Zagier lebt auf dieser Achterbahn, die so wohl nur Mathematiker erfahren. Sein Lebensweg liest sich wie die Biografie eines Mannes, der keine Zeit verlieren wollte, um sich all jenes Wissen anzueignen, das er braucht, um den Geheimnissen der Zahlen auf die Spur zu kommen. Bereits im Alter von 13 Jahren bekommt der 1951 in Heidelberg geborene und in den USA aufgewachsene Zagier das Abitur, mit 16 folgt das Diplom. Anschließend promoviert er in Oxford, mit 19 Jahren bekommt er den Doktortitel, um sich dann im Alter von nur 23 Jahren am Bonner MPI zu habilitieren. Heute gilt er als Meister seines Fachs: Zahlentheorie - jenes Teilgebiet der Mathematik, das die Eigenschaften der Zahlen erforscht.

Was fasziniert Zagier an den Zahlen? Was gibt es da eigentlich noch zu erforschen? Eine ganze Menge, wie Zagier versichert. „Das zeigt ein einfaches Beispiel: Gesucht sei eine natürliche Zahl, die sich als Summe von  Kubikzahlen darstellen lässt. Eine richtige Antwort wäre die 91. Denn es gilt:
91 = 27 + 64 = (3 x 3 x 3) + (4 x 4 x 4) = 3^3 + 4^3
Allerdings lassen sich nicht alle  natürlichen Zahlen so darstellen. Deshalb erweitern wir dieses Problem, indem wir auch  rationale Zahlen zulassen. Damit existiert auch für die 13 eine Lösung, nämlich
    13 = (7/3)^3 + (2/3)^3
Auch die 13 ist also als Summe von zwei Kubikzahlen darstellbar – allerdings nur mit Hilfe eines Bruchs. Denn eine Darstellung mit ganzen Zahlen existiert für die 13 nicht. Und dann gibt es noch jene Zahlen, die sich überhaupt nicht als Summe von zwei Kubikzahlen darstellen lassen, etwa die 5.“

Zauberzahlen - auch ohne Magie

Warum verhalten Zahlen sich so unterschiedlich? Don Zagier stand schon einmal kurz davor, diese Fragen zu beantworten. Gemeinsam mit seinem amerikanischen Kollegen Benedict Gross hat er im Jahr 1998 einen Teil der berühmten „Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture“ bewiesen - jener Vermutung, die Mathematiker des Clay Mathematics Institute (CMI) als so bedeutend einschätzen, dass sie sie als Vertreter der Zahlentheorie auf die Liste der „Millennium Prize Problems“ aufnahmen. Was besagt diese geheimnisvolle Vermutung, an deren Beweis die Großmeister der Mathematik bislang scheiterten?

„Eigentlich geht es nur darum, Gleichungen zu lösen“, sagt Zagier. „Das einfachste Beispiel dafür ist das Kubikzahlenproblem. Bedingung ist, dass die Lösungen nur ganzzahlig oder rational sein dürfen.“ sagt Zagier. Ein Problem, das die Mathematiker bereits seit mehr als 2000 Jahren beschäftigt, denn schon der alexandrinische Mathematiker Diophant (etwa 250 n. Chr.) untersuchte, ob und wie sich Zahlen als Summe ganzer und rationaler Kubikzahlen darstellen lassen.

 „Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer gibt uns eine einfache Entscheidungsregel für die Lösbarkeit des Kubikzahlenproblems“, sagt Zagier. Das dafür nötige Handwerkszeug: sogenannte  elliptische Kurven - Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem, die zu jedem Kubikzahlenproblem existieren. Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ordnet jeder elliptischen Kurve eine ganze Zahl zu. „Ich nenne sie die Zauberzahl, weil sie ein einfaches Entscheidungskriterium für das Kubikzahlenproblem liefert.“ Doch hinter dieser Zauberzahl steckt keine Magie, sondern elementare Mathematik. „Ist die Zauberzahl nicht 0, ist das Kubikzahlenproblem nicht lösbar. Das ist mittlerweile bewiesen. Umgekehrt sagt die Vermutung: Falls die Zauberzahl gleich 0 ist, gibt es Lösungen - und zwar unendlich viele. Dieser Teil ist aber noch nicht vollständig bewiesen. Wer das schafft, bekommt die Millionen Dollar.“ Nur: Wie kommen Mathematiker auf jene genialen Ideen, die den Weg zum Verständnis ebnen? „Die wichtigste Tugend ist Hartnäckigkeit. Denn Mathematik ist vor allem harte Arbeit. Als Mathematiker sammelt man über die Jahre Erfahrungen",sagt Zagier. "Manchmal bieten sich Methoden an, die schon bei anderen Problemen nützlich waren.“

Alles nur Routine also! Wo bleibt da das viel zitierte mathematische Genie? „Manchmal kommen die guten Ideen tatsächlich wie aus heiterem Himmel. Solche Blitzeinfälle entstehen allerdings unbewusst. Plötzlich weiß man, was man zu tun hat. Diese Aha-Erlebnisse liefern meist die besten Ideen. Aber sie erfordern viele Jahre harter Arbeit, damit das Unterbewusstsein die Ideen entwickeln kann.“

So ähnlich muss es sich auch zugetragen haben, als Zagiers Kollege Benedict Gross den Einfall hatte, mit dem die beiden Forscher einen Teil der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer gelöst haben. „Wir haben beide völlig unabhängig voneinander an dem Beweis gearbeitet - nach eineinhalb Jahren haben wir festgestellt, dass unsere Ergebnisse gleich waren.“

Dabei scheint doch alles ganz einfach: Null oder nicht Null - Problem gelöst. Oder etwa nicht? Leider nein: „Bisher haben wir nur geprüft, ob es für unser Kubikzahlenproblem eine Lösung gibt oder nicht. Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer geht aber noch viel tiefer. Nehmen Sie drei Zahlenbeispiele für unser Kubikzahlenproblem: 5, 13 und 19.  Für 5 werden Sie keine Lösung finden, weil ihre Zauberzahl ungleich 0 ist.

Die einfachste Lösung für die 13 ist 13 = (7/3)^3 + (2/3)^3. Die nächste Lösung besitzt bereits vier Ziffern. Betrachten wir alle Lösungen mit einer Länge von maximal 100 Millionen Ziffern, erhielten wir nur vier verschiedene Ergebnisse.
Ganz anders bei der 19: Hier finden wir bereits neun unterschiedliche Lösungen mit einer Länge von maximal 200 Ziffern. Das Kubikzahlenproblem hat also in beiden Fällen unendlich viele Lösungen - aber die Lösungsmenge wächst unterschiedlich schnell.“

Zahlen sind eben unberechenbar. Um dennoch mehr über sie zu erfahren, verwendet Zagier einen Trick: Er berechnet zu jeder elliptischen Kurve, die bei einem Kubikzahlenproblem entsteht, eine natürliche Zahl, den Rang r. „Der Rang beschreibt, wie schnell die Lösungen mit maximal N Ziffern im Bruch wachsen - nämlich wie N^(r/2).“ Die elliptische Kurve zum Kubikzahlenproblem 13 hat etwa den Rang 1, die Lösungen wachsen damit wie N^(1/2) = √N. Anders bei der 19: Deren elliptische Kurve hat den Rang zwei. Damit wächst die Lösungsmenge wie
N^(2/2) = N^1 = N. Das zeigt: Die Lösungsmenge für die 13 wächst wesentlich schneller als bei der 19.“ Mit dem Rang kann man also vorhersehen, wie schnell die Menge der Lösungen größer wird, je mehr Stellen hinter dem Komma zugelassen sind - immer vorausgesetzt, die Zauberzahl ist 0.

Doch damit nicht genug. Denn neben einem einfachen Entscheidungskriterium besitzt die Zauberzahl zwei weitere Vorzüge: Erstens löst sie nicht nur für das Kubikzahlenproblem, sondern auch eine Vielzahl anderer Probleme. Zweitens ist sie stets ganzzahlig - womöglich der entscheidende Vorteil, denn berechnet wird die Zauberzahl über eine zweite Funktion, welche über die zugehörige elliptische Kurve des Kubikzahlenproblems hergeleitet wird. Das Ergebnis: Eine Kurve im Koordinatensystem, an der an einer markanten Stelle der Wert der Zauberzahl sichtbar wird. Null oder nicht Null: Für geübte Mathematiker ist das dann wohl nur noch ein Kinderspiel, oder? „Ganz im Gegenteil“, sagt Zagier. „Diese Frage ist für Mathematiker ein großes Problem, denn wie sicher kann man sich sein, ob eine Zahl 0 oder ungleich 0 ist? Die Auflösung des menschlichen Auges liegt nur bei etwa einem Zehntel Millimeter. Auch der Computer kann nicht so genau rechnen. Man kann in der Mathematik also nicht feststellen, ob eine reelle Zahl exakt Null ist. Die Zauberzahl ist dagegen immer ganz; das ist mathematisch bewiesen. An ihr lässt sich absolut exakt ablesen, ob es Lösungen gibt oder nicht.“

Und was würde passieren, wenn auch der letzte Teil der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer bewiesen wäre und ein zweites „Millennium Prize Problem“ gelöst wäre? „Der Lösungsweg wäre wahrscheinlich am interessantesten, weil die dort angewandten Methoden vielleicht auch bei anderen Problemen helfen.“ Don Zagier denkt also schon weiter - an die nächsten Zahlenrätsel, die es noch zu lösen gilt. „In der Mathematik gibt es so viele Rätsel wie Lösungen des Kubikzahlenproblems für die 13: unendlich viele.“


Dieser Beitrag entstand im Zuge des EuroScience Open Forum (ESOF) 2006.


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